Limiti finiti per successioni analizzando elementi che tendono all'infinito.

Definizione di limite finito:

Diremo che la successione è convergente ossia tende ad un numero finito per n tendente all'infinito e scriveremo :

se per ogni ε positivo e piccolo a piacere si può determinare un numero M(ε) grande e dipendente da ε tale per cui per ogni n>M si abbia:

Negli esercizi di verifica dobbiamo verificare che partendo da

e risolvendo il sistema associato

si ottiene che una soluzione sia del tipo n>M(ε)

ESEMPIO

Verificare il seguente limite:

Partendo dalla definizione scriviamo:

1^o caso ponendo la differenza s_n<ε:

2^o caso ponendo la differenza s_n>-ε:

Possiamo ora determinare le intersezione delle due successioni e calcolare la soluzione del sistema, ottenendo:

Pertanto abbiamo verificato quanto richiesto.

In generale se dobbiamo calcolare il limite di una successione i cui elementi sono il rapporto di due polinomi , sarà sufficiente calcolare il rapporto dei monomi di grado massimo.
Consideriamo che si abbia , se m=n il limite sarà a/b. se m ‹n il limite sarà 0 altrimenti il limite sarà infinito.