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Proprietà dei numeri naturali e i concetti di gruppo e campo

Definiamo il concetto di struttura di gruppo

Il concetto di struttura di gruppo è stata introdotta per permettere la definizione formale di operazione inversa effettuabile su tutti gli elementi di un insieme (numerico per il momento). Questa definizione permette di individuare gli insiemi su cui effettuando l'operazione inversa (se l'operazione prescelta è la somma l'operazione inversa sarà la differenza; per il prodotto la divisione) è certo che il risultato non solo esiste ma è ancora un numero dello stesso insieme.

Un insieme numerico A ha struttura di gruppo rispetto ad una operazione scelta se:

  1. A è chiuso rispetto all'operazione scelta ossia eseguendo l'operazione tra due elementi dell'insieme il risultato è un elemento appartenente all'insieme.
    Per la somma la somma di due numeri di un insieme deve dare per risultato ancora un numero appartenente allo stesso insieme. Se considero l'insieme costituito dai numeri {0 ; 1} la somma non è detto che sia un numero appartenente all'insieme. Ad esempio 1+1 = 2 ma 2 non appartiene all'insieme.

  2. L'operazione è associativa (scegliendo ad esempio l'operazione somma e presi tre numeri a,b,c appartenenti all'insieme allora (a+b)+c = a + (b+c).
    Se considero i numeri interi (2+3) + 4 = 2 +(3+4)
    5+4 = 2 + 7 = 9.

  3. Esiste in A l'elemento unità o neutro rispetto all'operazione. ( per la somma 0 per il prodotto 1).
    L'elemento neutro è quel numero che lascia inalterato il risultato se applicato ad un qualsiasi altro numero dell'insieme. 3+0 = 0+ 3 = 3 (3 era e tre è rimasto anche dopo la somma).

  4. Per ogni elemento dell'insieme esiste un altro elemento ed effettuando l'operazione sui due elementi il risultato è l'elemento neutro.

Se vale la proprietà commutativa il gruppo sarà definito essere abeliano, ossia se è equivalente scrivere a+b=b+a o a x b = b x a.

L'insieme dei numeri naturali non ha struttura di gruppo né rispetto all'operazione somma né rispetto all'operazione prodotto, in quanto non vale la quarta proprietà.

Oserviamo che non è detto che l'operazione inversa non sia valida. Ad esempio la differenza si può effettuare purchè il sottraendo sia maggiore del sottratto. 7- 5 = 2 (operazione lecita). 5-7 non si può fare. Lo stesso dicasi per la divisione 10 : 5 = 2 (operazione lecita) 10 : 7 non si può fare.

Un insieme ha struttura di gruppo rispetto ad un'operazione solo se scegliendo a caso due elementi dell'insieme l'operazione inversa è sempre lecita, ossia il risultato è ancora un numero dell'insieme.

Se un insieme ha struttura di gruppo sia rispetto all'operazione somma che all'operazione prodotto sarà un campo numerico se e slo se rispondera a quanto richiesto dalla

STRUTTURA DI CAMPO

Un insieme numerico A ha struttura di Campo se sull'insieme sono definite le operazioni di somma e di prodotto e se:

L'insieme A ha struttura di gruppo rispetto all'operazione somma.

L'insieme A ha struttura di gruppo rispetto all'operazione prodotto.

Vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Ossia se a ( b+c)= ab + a c

Se le operazioni godono della commutatività allora il campo è abeliano.

Ecco nuovamente i primi numeri naturali come erano riportati sulle tavolette dei babilonesi (che non conoscevano il numero 0)


I numeri razionali relativi hanno la struttura di gruppo commutativo sia rispetto all'operazione somma che all'operazione prodotto.
Pertanto sono un "CAMPO ABELIANO"


Assiomi di Peano