Per l'infinito vale quanto ricavato per i numeri finiti?

Considera l'insieme  {A} dei numeri naturali elevati al cubo:
1 - 8 - 27 - 64 - ...- n³

Considera l'insieme {B} dei numeri naturali elevati al quadrato:
1 -  4 -  9 -  16 - ...- n²

Ad una prima analisi abbiamo la seguente impressione: considerando i valori inferiori a 1000 abbiamo:

L'insieme {A} 1³ = 1 - 2³ = 8 - 3³ = 27 - 4³ = 64 - 5³ = 125 - 6³ = 216 - 7³ = 343 - 8³ = 512 - 9³ = 729 - 10³ = 1000 ci sono solo 10 numeri che sono cubi perfetti.
è meno denso (contiene meno numeri) dell'insieme {B} 31²=961 ossia ci sono solo 31 numeri il cui quadrato è inferiore a 1000

Questo accade sempre se prendiamo un sottoinsieme finito di numeri naturali.

Si osserva che in generale valgono le consuete considerazioni sui sottoinsiemi, ossia un sottoinsieme proprio contiene un numero inferiori rispetto all'insieme universo se finito.

Inoltre, l'unione di due sottoinsiemi disgiunti, contiene un numero di elementi maggiore rispetto a quanto associato a ciascun sottoinsieme.

E PER GLI INSIEMI INFINITI?

Scopriremo che i sottoinsiemi propri contengono lo stesso numero di elementi dell'insieme dei numeri naturali e che la somma di due sottoinsiemi infiniti contiene lo stesso numero di elementi dell'insieme dei numer naturali.