Come operare sugli insiemi infiniti

Riconsideriamo l'insieme dei quadrati.Quanti sono rispetto ai naturali? Come quantificare il loro numero?

Sono infiniti e per grande che sia il numero potremo sempre calcolarne il quadrato e per ogni quadrato determinato potremo determinare il quadrato del successivo. Per il 5° assioma di Peano pertanto è un insieme numerabile e in corrispondenza coi naturali. Pertanto contiene lo stesso numero di elementi dei numeri naturali.

Lo stesso discorso vale per l'insieme dei cubi, dei numeri pari, dei numeri dispari ...
Conclusione: ogni sottoinsieme ininito proprio dei naturali può sempre essere messo in corrispondenza coi numeri naturali e pertanto contiene lo stesso numero di elementi dell'insieme dei numeri naturali.
Lo stesso discorso vale per l'unione di due o più insiemi infiniti.

La favola dell'albergo con infinite stanze.

C'è un albergo con infinite camere tutte occupate. Ogni stanza è associata ad un numero naturale.

Arriva un nuovo cliente e chiede una stanza. Il portiere non si scompone. Col megafono avvisa tutti i clienti di spostarsi nella stanza successiva. (l'1 va nel 2, il 2 nel tre,...). Quando tutti si sono spostati rimane libera la stanza numero 1 cheviene destinata al nuovo cliente.

Dopo circa un'ora arriva un pulman contenente infiniti pellegrini che chiedono ospitalità per la notte. I pellegrini sono infiniti (quanto i numeri naturali).
Il portiere dice che sarà facile sistemare tutti i pellegrini.
Per sistemare tutti i pellegrini ordina a tutti gli occupanti di spostarsi nella camera col numero pari al doppio del numero della stanza in cui si trovano.
Fatto ciò rimangono libere le infinite stanze dispari.
Qui vengono sistemati gli infiniti pellegrini.

Concludendo:

2 x infinito è esattamente uguale a infinito
Quanto detto vale anche per ogni altro multiplo di infinito,  compreso il caso infinito al quadrato.
L'infinito ci costringe a rivedere i concetti di insieme e sottoinsieme.