Fino ad oggi abbiamo effettuato dimostrazioni utilizzando sempre 2 tecniche:
- Deduzione;
- Metodo per assurdo.
Dal 5° postulato di Peano al principio di induzione introdurremo una tecnica estremamente potente che ci porterà ad effettuare
dimostrazioni in grado di rilevare nuove leggi, non implicite in quanto già trattato.
L'induzione è, in logica, "un procedimento che consiste nel risalire da fatti concreti e particolari a principi o proposizioni più generali".
Da qui capiamo subito che è un procedimento proprio della ricerca sperimentale e dunque della fisica.
Se usiamo l'induzione aritmetica, possiamo costuire una teoria esatta in matematica (anche se, non dimentichiamolo, secondo alcuni matematici questo non è un metodo di dimostrazione accettabile poichè il quinto assioma di Peano, da cui deriva, non è nè dimostrabile nè evidente).
Il principio di induzione
Il principio d'induzione è una regola dimostrativa basata sul quinto assioma di Peano. Prendendo in considerazione una certa proprietà di alcuni numeri associabili ai numeri naturali, che chiameremo An, questo principio ci permette, attraverso pochi e semplici passaggi, di dimostrare che è valida per tutti i numeri appartenenti all'insieme An, con n appartenente all'insieme dei Naturali . Per fare ciò, con ci resta che considerare l'insieme dei numeri che godono di questa proprietà e dimostrare che questo insieme vale per tutti gli elementi dell'insieme preso in considerazione.
Il principio di induzione viene solitamente schematizzato nel seguente modo:
La proposizione si dimostra vera per induzione per per l'insieme A i cui elementi sono an , tramite i seguenti passaggi:
La proposizione è vera per n = k;
Si supponga che la proposizione valga per il termine an;
Si dimostri che vale per il termine successivo an+1
Allora la proposizione è valida per tutti gli elementi an di A con n≥k
Ricordiamo che, anche se la dimostrazione del passo induttivo è la più importante e delicata, è sempre meglio non trascurare quella della base.