Andamento all'infinito di un polinomio.

Legame tra un polinomio e il monomio di grado massimo.

Consideriamo il polinomio P(n)=3n⁵-2n³+2575 e il suo monomio di grado massimo Q(n)=3n⁵.

Se sostituiamo ad n valori piccoli i risultati saranno notevolmente diversi e lo stesso dicasi se calcoliamo il loro rapporto P(n)/Q(n)

• Se ad esempio calcoliamo il loro valore per n=2 otteniamo: P(2)=2647, Q(2)=96 e P(2)/Q(2)= 27,572916667
• Se ora calcoliamo il loro valore per n=7 otteniamo: P(7)=52898, Q(7)=50421 e p(7)/Q(7) = 1,04...
• Se calcoliamo per n=1000 otteniamo: P(1000)=2999999998002575, Q(1000)= 3000000000000000 e P(1000)/Q(1000)=0,999999999...

Si osserva che per n sufficientemente grande i valori assunti da P(n) e da Q(n) tendono ad essere sempre più simili e il loro rapporto tende sempre più ad 1.

Questo ci ha portato a definire il concetto di asintotico quando studiamo il comportamento di un polinomio per n tendente all'infinito.

Se devo studiare l'andamento di un polinomio all'infinito, questo andamento coincide con l'andamento del suo monomio di grado massimo.

Ossia:

Questa tecnica sarà molto utile per il calcolo dei limiti delle successioni.