Abbiamo visto che se siamo in grado di definire un insieme "infinito" che risulti ubbidire al quinto assioma di Peano, tale insieme potrà essere messo in corrispondenza univca coi numeri naturali.

Non è detto che risulti agevole dire perché un determinato valore sia associato ad un preciso numero naturale.

In generale tratteremo gli insiemi per cui risulti esplicitabile la regola con cui ricavare l'elemento da associare ad ogni numero naturale.

Esempi:

Come associare ad ogni numero pari il corrispettivo numero naturale? Come creare la crrispondenza univoca numero pari - numero naturale?

Osservando la figura risulta facile ricavare la formula che lega i numeri pari ai Naturali.

 

L'insieme dei numeri naturali rispetta gli assiomi di Peano assegnando al numero 2 il compito di primo elemento. Pertanto risulta semplice ricavate che l'insieme dei numeri pari è equipotente ai numeri naturali (ossia l'insieme dei numeri pari contiene lo stesso numero di elementi dell'insieme dei numeri naturali).

E per i numeri dispari?

E' semplice basta togliere 1 ad ogni numero pari e pertanto:

In generale, se l'insieme numerico è definibile imponendo una regola, sarà sempre possibile esplicitare il legame tra elemento dell'insieme e N