Per estendere l'insieme dei numeri naturali in modo che si possa sempre effettuare l'operazione inversa all'operazione somma, ossia in modo che abbia struttura di gruppo rispetto all'operazione somma si è effettuata la seguente estensione:
Dopo aver introdotto il concetto di scarto tra due numeri quale differenza tra il maggiore e il minore di due numeri qualsiasi ( ad esempio lo scarto tra 5 e 8 è 3 [8-5])Definiamo numero Intero relativo o semplicemente numero Z intero un qualsiasi numero ricavabile dall'operazione scarto tra due numeri naturali con le seguenti modalità:
Data la coppia (a;b) con a e b appartenenti all'insieme dei naturali:
-
se a > b allora definiremo numero positivo il valore a-b [(3,1) = + 2]
-
se a < b allora definiremo numero negativo il valore b - a [(1;3) = -2]
Sull'insiemeZ valgono tutte le proprietà e le operazioni definite su N
Analizzando il concetto di struttura di gruppo rispetto all'operazione somma valendo anche la 4° proprietà, detto insieme ha struttura di gruppo rispetto all'operazione somma ed è abeliano.
Consideriamo le coppie ordinate di numeri Z x Z (a;b) esprimibili come rapporto a / b. Definiamo l'insieme dei numeri così definiti insieme Q dei numeri razionali.
Un numero razionale è pertanto un qualsiasi numero esprimibile quale frazione di numeri interi Z
Sono razionali:
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I numeri interi ( a / 1).
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I decimali finiti: 2,33 = 233 / 100
-
I numeri periodici: 2,2(3) = (223 - 22) / 90
L'insieme Q ha struttura di campo, in quanto ha struttura di gruppo rispetto alle operazioni somma e prodotto ed inoltre vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma.
Il numero zero non è un numero naturale. E' stato aggiunto all'insieme dei numeri naturali per permettere l'introduzione della notazione posizionale e per introdurre il concetto di numero neutro.
POSTULATI DEL NUMERO ZERO
Moltiplicando un numero per zero si ottiene per risultato zero.
A + 0 = 0 + A = A
Se A B = 0 allora o A = 0 oppure B = 0 (legge dell'annullamento del prodotto).
Non esiste il risultato dell'operazione numero diviso zero A / 0 = non numero!!!