Abbiamo visto che chi osserva un sistema, rispetto a lui, in moto uniforme ad una velocità prossima a quella della luce affermerà che l'intervallo di tempo nel sistema in moto è dilatato rispeto all'intervallo temporale rilevato nel sistema di riferimento apparentemente in "quiete", e affermerà che l'intervallo di tempo rilevato nel sistema in moto è Δt = γΔτ con Se ci poniamo nei panni dell'osservatore sul sistema in moto affermeremo che il primo sistema è in moto ad una velocità prossima a quella della luce, con tempi dilatati Δt=γΔ τ, dove τ è l'intervallo di tempo rilevato nel proprio sistema.

Chi ha ragione?

Entrambi. Nel proprio sistema l'osservatore affermerà di determinare il tempo proprio (Δτ), mentre osservando l'altro sistema determinerà un intervallo di tempo Δt.

E per le lunghezze?

Le lunghezze dei corpi vengono modificate. L'osservatore può determinare la lunghezza longitudinale di un oggetto nel suo sistema di riferimento, utilizzando varie tecniche.

Einstein suggerisce di determinare la lunghezza di un righello di estremi AB calcolando l'intervallo di tempo Δ τ che impiega un raggio di luce per andare da A a B, ossia AB = c Δ τ
e pertanto c=AB/Δ τ

Se dobbiamo determinare la lunghezza orizzontale di un righello in un sistema in moto rispetto a noi ad una velocità prossima a quella della luce, possiamo utilizzare la stessa tecnica, tenedo presente che utilizzeremo intervalli temporali misurati sul sistema di riferimento in moto.

Pertanto c=A₁B₁/Δ t.
Se confrontiamo i risultati abbiamo AB/Δ τ = A₁B₁/Δ t e pertanto A₁B₁ =AB Δτ/Δt.
Essendo Δ t /Δ τ=γ potremo concludere che A₁B₁=AB/γ.

La contrazione modifica solo la dimensione nella direzione del moto, non le altre dimensioni. Supponendo che il sistema sia in moto lungo l'asse x , si contrarrà solo la x non le altre dimensioni

Esempio

Consideriamo due osservatori posti in sistemi di riferimento differenti; il primo (A) è fermo sulla Terra, mentre il secondo (B) si sta muovendo a velocità v=0,9c ad una distanza di 2,6 anni luce da una stella lontana; Analizziamo cosa osserva l'astronauta consideriamo il tempo impiegato dal secondo osservatore per approdare sulla stella. Per l’osservatore in moto il tempo misurato è un tempo Δ t=2,6 γ. γ= 0,4358 e pertanto afferma che la stella si trova ad una distanza di 2,6 × 0,4358 annni luce, ossia alla distanza di 1,13 anni luce e viaggiando alla velocità di 0,9 c sarà raggiunta in 1,25 anni.

L'osservatore sulla Terra affermerà che sull'astronave il tempo scorre ad una velocità diversa da quella rilevata sulla Terra in quanto l'orologio sull'astronave misura un secondo ogni 2,29 secondi misurati utilizzando l'orologio del terrestre.
Viaggiando alla velocità di 0,9 c raggiungerà la stella fra 2,888 anni.

Ogni osservatore nel proprio sistema affermerà che le dimensioni di orologi e regoli sono quelle del sistema in quiete, mentre affermerà che in ogni altro sistema apparentemente in moto sarà caratterizzato da tempi dilatati e regoli contratti nella direzione del moto (rilevato dall'osservatore in "quiete").