Introduzione alla relatività generale

La teoria della relatività generale vuole estendere i concetti di base della relatività speciale.
Einstein vuole generalizzare quanto ricavato nel relatività ristretta ai sistemi di riferimento su cui agisce la gravità e ai sistemi non inerziali, che sono soggetti ad un'accelerazione costante.
Nella relatività generale l’uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale non è più un accidente, ma la conseguenza necessaria di un principio generale, l’equivalenza fisica di tutti i sistemi di riferimento.
Una delle motivazioni della relatività generale di Einstein, del 1916,fu proprio quella di spiegare l’equivalenza di inerzia e gravitazione (il principio di equivalenza), unificando i due concetti.

Massa inerziale e Massa gravitazionale

Già Newton nel 1686 aveva dimostrato che massa inerziale e massa gravitazionale sono uguali entro un limite di precisione di 1 parte su 1.000.
Gli innumerevoli esperimenti eseguiti dall’epoca di Newton in poi hanno via via migliorato il livello di precisione con cui il principio di equivalenza è stato verificato.
Il punto di svolta si ebbe nei primi decenni del secolo scorso, quando al posto del pendolo si cominciò ad adoperare uno strumento enormemente più preciso, la bilancia di torsione, grazie all’uso della quale l’uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale fu verificata con un’accuratezza di poche parti per miliardo.

L’uguaglianza di massa gravitazionale e massa inerziale è nota come principio di equivalenza debole: è il fondamento su cui Einstein costruì il suo capolavoro, la teoria della relatività generale

Secondo la relatività speciale, la misura dell’inerzia di un corpo non è la sua massa, bensì la sua energia. Poichè nel limite di basse velocità le predizioni relativistiche si riducono a quelle newtoniane, quando un corpo è fermo la sua energia E=mc² , dove c è la velocità della luce nel vuoto.
La massa, dunque, è una forma di energia, come si verifica in tutti quei processi nucleari e subnucleari – dalle reazioni di fissione e fusione nucleare agli urti negli acceleratori – in cui vi è conversione di massa in energia cinetica o, al contrario, materializzazione di energia cinetica in massa.
La massa di un sistema composto è la somma delle masse e delle energie dei suoi costituenti.

Alla base della relatività generale risiede l'idea per cui, se è impossibile per la relatività ristretta distinguere tra due sistemi di riferimento inerziali, allora le leggi della fisica devono essere le stesse per tutti i sistemi di riferimento inerziali. Ma che cosa succede se il sistema di riferimento è accelerato?
Einstein riteneva che tutti i sistemi di riferimento dovessero essere equivalenti per quanto riguarda la formulazione delle leggi fisiche. Questa affermazione rappresenta il principio di invarianza,
Il principio di equivalenza di Einstein oltre che per le leggi della meccanica vale anche per tutte le leggi fisiche, compreso l'elettromagnetismo.

Approfondimenti

Einstein si è posto la domanda: È possibile introdurre il concetto di sistema inerziale, partendo da un sistema in moto accelerato?

Consideriamo due sistemi dei quali, che identificheremo con B₀, è in moto accelerato rispetto al secondo, che identificheremo con B.
Relativamente a B₀ le varie masse sono separate dalle altre e risultano sottoposte alla stessa accelerazione nel sistema in cui si trovano. Può un osservatore in quiete rispetto a B₀ trarre da qui la conclusione che egli si trova in un sistema di riferimento “realmente” accelerato?
A questa domanda si deve rispondere negativamente; infatti il suddetto comportamento di una massa in moto libero relativamente a B₀ si può interpretare anche nel modo seguente. Il sistema di riferimento B₀ è non accelerato, in quanto per l'osservatore in B₀ tutti gli oggetti presenti nel sistema di riferimento in esame sono in quiete mentre è B il sistema in moto accelerato.
Einstein notò che, poichè le forze apparenti che compaiono nei sistemi di riferimento accelerati sono proporzionali alla massa inerziale e poichè questa è uguale alla massa gravitazionale, un osservatore può sempre eliminare, o simulare, gli effetti della gravità, ponendosi in un sistema di riferimento accelerato: per esempio, in un ascensore in caduta libera un osservatore non avvertirebbe la gravità ma fluttuerebbe come se fosse nello spazio vuoto. Per incorporare i sistemi di riferimento non inerziali Einstein formulò il principio di equivalenza, che stabilisce che non è possibile distinguere tra i fenomeni osservati in un campo gravitazionale uniforme e quelli osservati in un sistema mobile con accelerazione costante.

Altre considerazioni

Partendo dal concetto di coincidenza tra massa inerziale e massa gravitazionale, la teoria della relatività generale estende i concetti di base della relatività speciale ai sistemi di riferimento non inerziali.
Ad esempio si può simulare l'azione di un campo gravitazionale con oggetti presenti in un sistema di riferimento sottoposto ad una accelerazione pari a g e nel contempo simulare l'assenza di gravità con un sistema in caduta libera.

Einstein sviluppò attorno al 1916, il concetto che nei sistemi di riferimento non inerziali si possano simulare condizioni in cui un oggetto in moto accelerato si comporti come un corpo sottoposto alla forza di gravità.
Questo ci porterà allo sviluppo di una nuova teoria della gravitazione, di cui tratteremo in seguito.

Non è possibile sapere se siamo in presenza o in assenza di un campo gravitazionale, in quanto l'osservatore sull'ascensore in caduta libera affermerà di essere in "quiete" e non sottoposto all'azione di nessuna forza.
L'osservatore nell'ascensore fermo affermerà di essere all'interno di un campo gravitazionale, o sottoposto all'azione di una forza che lo accelera verso l'alto con a=g.

Cosa rileva l'osservatore posto in un sistema in caduta libera?
Consideriamo un ambiente in caduta libera.Tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione e quindi non si osserva più l’effetto della gravità, che viene cancellata.
Oppure se la stazione orbitale si allontanasse dalla terra ad una distanza tale che la forza di gravità fosse nulla.
In tale caso sia il laboratorio che i corpi in esso contenuti sarebbero tutti “in caduta libera”.

Tra 1988 e 1990 avviene la costruzione della Drop Tower, utilizzata dall'ESA anche in ambito didattico , per permettere ricerche in microgravità da terra.
Questa e altre simili son torri alte anche più di un centinaio di metri, all’interno delle quali, in condizioni di vuoto d’aria, si possono effettuare esperimenti in caduta libera anche per la durata di alcuni secondi. Una telecamera, solidale con la piattaforma di carico, permette di riprendere i fenomeni che avvengono durante la caduta.

Deflessione della luce.

Consideriamo un osservatore in caduta libera verso una stella. Nel suo sistema di riferimento osserverà che la luce viagga attraversando il suo sistema di riferimento in "quiete" non effettuando nessuna deflessione.

Un osservatore all'esterno di tale sistema di riferimento affermerà che il sistema è in moto accelerato verso la stella e che il raggio luminoso mentre attraversa il sistema di riferimento in moto si sposta verso la stella, ossia viene deflessa.

Lo stesso principio prevede che la gravità si manifesti come una curvatura dello spazio-tempo, tanto più accentuata quanto più densa è la materia che la produce. Il Sole incurva solo leggermente il “tappeto elastico” dell’universo, mentre una stella di neutroni – che ha una massa dell’ordine di quella solare, concentrata però in un raggio di pochi chilometri , lo incurva molto di più, e un buco nero lo incurva così tanto che niente di ciò che finisce in esso, neanche la luce, può riemergere.
La prima conferma della curvatura dello spazio-tempo arrivò già nel 1919, in occasione di un’eclissi di Sole. L’astronomo Arthur Eddington, infatti, riuscì a osservare alcune stelle molto vicine al bordo del Sole, che avrebbero dovuto essere invisibili perchè si trovavano dietro al Sole stesso (rispetto al punto di vista di un osservatore terrestre).

A questa verifica ne sono seguite molte altre: l’ultima, solo in ordine di tempo, è l’osservazione di una supernova distante la cui luce si divide in ben quattro percorsi diversi sempre a causa della curvatura dello spazio-tempo che da origine alla lente gravitazionale, producendo la cosiddetta croce di Einstein. L'immagine è prodotta dalla galassia ZW 2237 +030, che funge da lente gravitazionale, sul Quasar G2237 +0305 collocato direttamente dietro ad essa.

Caduta libera e Dilatazione del tempo

Consideriamo la cabina di un ascensore in caduta libera. Nel sistema in caduta libera si invia un impulso luminoso al secondo dal l'alto verso il basso. Questo impulso viene rilevato ad una distanza h dalla sorgente luminosa. Abbiamo che il Δ t = 1 secondo.
Quanto vale l'intervallo temporale alla distanza h?
Tenendo presente che il sistema si muove verso la terra accelerato con accelerazione=g avremo che l'intervallo temporale è maggiore avremo un
Δ τ = Δ t (1+gh/c²)
Per la relatività generale c'è dilatazione temporale ossia gli intervalli temporali aumentano con l'aumentare dell'intensità del valore del campo gravitazionale.

Seguito: sintesi relatività generale