l GPS e la Relatività

Il Global Positioning System (GPS), è stato sviluppato per soddisfare le esigenze militari del Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti d'America. La sua nascita avvenne nel 1973 per soli scopi militari, ma solo il 27 aprile del 1995 il sistema divenne completamente operativo.

Il sistema, noto con la sigla NAVSTAR (Navigation System with Time and Ranging - Sistema di navigazione con tempo e distanza) si basa su un gruppo di almeno 24 satelliti geostazionari attivi in orbita intorno alla Terra (attualmente sembra siano 31)

I satelliti sono posizionati in modo che da ogni singolo punto del nostro pianeta siano sempre, almeno e contemporaneamente, visibili tra i 5 e gli 8 satelliti che viaggiano a gruppi di quattro su sei orbite inclinate di 55° rispetto all'equatore, posizionati ad un'altezza tra 18.000 e 20.000 km, con un periodo di rivoluzione di circa 12 ore, le orbite sono leggermente ellittiche.
Ogni satellite ha un orologio atomico al cesio con precisione di 1 su 10¹⁴ il che causa un errore di 0.86 ns al giorno.

Per la dilatazione temporale gravitazionale va tenuto presente l’esperimento di Hafele e Keating: l’orologio atomico che sta a terra è rallentato da questo effetto (gravitazionale) e bisogna essere sicuri che il redshift non mascheri l’effetto (cinematico) di dilatazione temporale legato al moto relativo degli orologi che si intende misurare.

Consideriamo due osservatori uno su un satellite e l'altro a terre. Immaginiamo che siano dotati di un orologio. L'osservatore sul satellite invia un impulso ad ogni intervallo di tempo pari a T _A = (1 + V (r _A )Δt (doive Δt è l'intervallo di tempo costante).
B vede arrivare i segnali distanziati di uno stesso intervallo Δt₁ , ma li giudicherà con un tempo proprio T _B = (1 + V (r _B ))Δt Quindi T_B/T_A=(1+V(r_B))/(1+V(r_A)≈ 1 + V (r_B) − V (r_A ) Nel caso in cui A sia sulla superficie terrestre ( r _A = R ⊕ ) e B sia ad una quota r dalla terra; essendo il potenziale terrestre dato da V (r) = − GM⊕ /r avremo un ritardo dell'ordine di T_B ≈(1+GM⊕/R⊕ - GM⊕/r_B)T_A che è maggiore di T_A

Se sono fuori dalla Terra e guardo lo svolgersi degli eventi sulla Terra li vedo rallentati. Ciò è stato verificato ponendo un orologio in pianura e uno in montagna (Istituto Metrologico Galielo Ferraris, Torino e Plateau Rosat, Cervinia) e più recentemente conforntando un orologio al cesio terrestre con uno piazzato su un satellite. Nei sistemi GPS occorre tener presente di questa minima dilatazione dei tempi, perchè un errore di pochi nanosecondi nella sincronizzazione tra i satelliti può produrre anche errori di qualche decina di metri nella determinazione della posizione.

Per la relatività speciale poichè il satellite è in moto ad una velocità di 3,8 km/s l'orologio sul satellite viene visto essere rallentato con γ= 7,1 µs/g e questo, tenendo presente che la distanza si calcola con L=Δt c causa un errore sulla posizione dell'oggetto a terra pari a circa 2,2 km.
Per la relatività generale il campo gravitazionale curva lo spazio-tempo e gli intervalli temporali sono deformati dalla presenza del campo gravitazionale.
Per gli orologi a terra il campo gravitazionale è molto più intenso rispetto a quello presenre sui satelliti a 20000 km d'altezza.
Avremo un Δ τ = Δ t (1+gh/c²) Ricordiamo che questa formula approssimata è valida nel caso di campi gravitazionali deboli (la cui accelerazione, cioè, produce velocità assai inferiori a quella della luce) e uniformi; ed in effetti la gravità della Terra non provoca alte velocità di caduta e può essere assunta costante se non ci si allontana eccessivamente dalla superficie. Questa dilatazione temporale causa un errore 45,7 µs al giorno. Senza correzione causerebbe un errore sulla determinazione della distanza oggetto-satellite (L=Δ τ c) di 15 km. Riassumendo, mentre l’effetto della relatività ristretta rallenta il clock degli orologi sui satelliti di circa 7 microsecondi al giorno, come conseguenza della relatività generale essi invece sono accelerati di circa 45 microsecondi (sempre al giorno). Facendo due conti, al netto ogni orologio sui satelliti viene accelerato rispetto a quelli sul nostro pianeta, ogni giorno, di circa 38 microsecondi introducendo un errore nella determinazione della distanza oggetto-satellite di circa 11,4 km!
Secondo la relatività speciale, a causa del moto relativo dei satelliti rispetto ad un osservatore a terra, il tempo a bordo del satellite scorrerà più lentamente.
La relatività generale si occupa invece della curvatura dello spazio-tempo causata dalla massa della Terra. Trovandosi più lontani dal centro della Terra rispetto ad un osservatore sulla superficie terrestre, gli orologi dei satelliti conteranno il tempo più velocemente rispetto agli omologhi terrestri. Nel complesso, l’effetto netto dei due fenomeni si estrinseca nella maggiore velocità (38 microsecondi) gli orologi sui satelliti rispetto a quelli sulla Terra.