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NUMERI IRRAZIONALI

Pur avendo struttura di campo l'insieme dei numeri razionali, non è sempre possibile definire in Q l'operazione inversa dell'operazione potenza ( la radice ennesima di un numero) e altre operazioni su operatori particolari (seno, logaritmo, ... ).

Dato un numero naturale è sempre possibile calcolare la sua potenza.

Ad esempio ed è possibile effettuare l'operazione inversa e possiamo pertanto scrivere: radice cubica di 8 è 2


E' possibile effettuare l'operazione inversa e calcolare la radice cubica di 7 ?

Ossia è possibile calcolare quel numero y che soddisfa la seguente condizione: y3=7 .

Premesso che dobbiamo trovare quel numero razionale che soddisfi quanto richiesto.Operando per tentativi ricaviamo:

Possiamo determinare infiniti numeri decimali minoranti e maggioranti che sempre meglio aprossimano il numero cercato, ma non possiamo determinare la radice cubica di 7.

Definiamo numero reale assoluto quel numero che pu essere considerato elemento separatore di una partizione di Q+.

Nel caso in esame possiamo suddividere tutti i numeri razionali in due sottoinsiemi, il primo dei numeri razionali il cui cubo è inferiore a 7, il secondo costituito da tutti i numeri razionali il cui cubo è maggiori di 7.

Non troveremo mai il numero razionale il cui cubo sia esattamente uguale a 7.

Possiamno ipotizzare che debba esistere un numero "strano" non razionale il cui cubo sia esattamente uguale a 7. Questo numero deve essere tale da essere l'elemento separatore dell'insieme A dei numeri il cui cubo è inferiore a sette e di tutti gli altri numeri (insieme B) il cui cubo è maggiore di 7.

I due insiemi sono tali che per ogni numero ε piccolo a piacere possibile determinare un numero appartenente all'insieme A e un secondo appartenente all'insieme B, tali che la loro differenza sia minore di ε . Pertanto esiste un elemento separatore tra i due insiemi. Detto elemento separatore non in questo caso un elemento appartenente a Q+ . Il numero individuato un numero reale, e nel caso specifico (operazione inversa dell'operazione potenza) è un numero irrazionale.