Interferenza con raggi luminosi

Un modo semplice per osservare interferenza consiste nel prendere una sorgente di luce e farla incidere su un biprisma ottico o biprisma di Fresnel.
Un biprisma ottico è mostrato schematicamente nella seguente figura:

La luce emessa da una sorgente puntiforme S viene rifratta dal biprisma come mostrato nella figura, in modo che si formino due immagini virtuali di S, chiamate S₁ ed S₂. La luce proveniente da queste due immagini virtuali si sovrappone nella zona indicata in figura e lì avviene interferenza e sullo schermo posto in A si osserva la figura di interferenza:

Possiamo anche pensare al biprisma di Fresnel come ad un dispositivo che in pratica produce interferenza tra i due pennelli rifratti dal biprisma stesso come rappresentato molto semplicemente nella seguente figura.

Questa figura sarà utile in seguito quando costruiremo l’analogia tra l’interferenza prodotta da un fascio luminoso e l’interferenza prodotta da un fascio elettronico.

BIPRISMA ELETTRONICO

Il biprisma elettronico è stato inventato da Moellenstedt nel 1955 che, per primo, all’Università di Tubingen pensava ad un modo per fare interferenza con pennelli elettronici.
L’idea del biprisma elettronico è la stessa del biprisma ottico: dividere un unico fascio per farlo auto-interferire: un questo modo saranno certamente osservate le condizioni necessarie per ottenere interferenza: si avranno fasci monoenergetici e coerenti.

Schema di biprisma elettronico

Tra due piatti metallici posti a terra A₁; e A₂, in modo simmetrico viene situato un filo carico positivamente B.
Se un pennello elettronico penetra tra i due piatti metallici, come è mostrato in figura, verrà diviso in due parti dal filo, il quale le defletterà verso il centro del dispositivo e quindi potrà avvenire la sovrapposizione.
Per la geometria dell’apparato la deflessione di tutti i “raggi” elettronici è la stessa, proprio come avveniva per i raggi luminosi rifratti dal biprisma di Fresnel.Questo si può capire pensando che il campo elettrico generato dal filo decresce in maniera inversamente proporzionale alla distanza dal filo stesso mentre i raggi elettronici sono deflessi lungo una curva tanto più ampia quanto più sono lontani dal fio centrale e, pertanto, risentono del campo elettrico per un tratto la cui lunghezza è direttamente proporzionale alla distanza dal filo centrale. I tal modo in i due effetti si bilanciano.
Ponendo ora un rivelatore nella zona di sovrapposizione dei pennelli elettronici è possibile osservare se si ottiene la figura di interferenza. Ciò avviene e avviene in modo esattamente analogo all’interferenza prodotta con pennelli luminosi.
La figura di interferenza che viene qui mostrata è stata trovata in un esperimento di interferenza con pennelli elettronici di A. Tonomura (1989), che risulta essere dello stesso tipo di quelli realizzati da Moellenstedt, ma perfezionato dal punto di vista tecnico.
Tonomura utilizza un microscopio elettronico invece di un cannone elettronico ma il pennello prodotto va comunque a dividersi su un biprisma elettronico.

Interferenza da biprisma elettronico

Il risultato ottenuto da Tonomura non lascia dubbi: si è in presenza di un fenomeno ondulatorio perché è possibile interpretare la distanza tra le frange attraverso lo stesso modello che descrive i fenomeni di interferenza di onde elettromagnetiche. Variando la velocità del pennello si nota che varia la spaziatura tra le frange e di conseguenza la lunghezza d’onda che possiamo associare al pennello stesso.
Quindi, proprio come si può fare per un’onda elettromagnetica, è possibile determinare la lunghezza d’onda del fascio di elettroni semplicemente misurando la distanza tra le bande chiare e scure e avendo dati sulla geometria dell’apparato sperimentale.

Osservando la figura di interferenza prodotta da un’onda elettromagnetica è possibile ricavare la sua lunghezza d’onda.
La distanza  L tra due frange chiare (che si ottiene misurando la distanza tra i due punti centrali di due frange chiare consecutive) è costante per tutta la figura di interferenza e vale:

dove:    D è la distanza tra lo schermo e le sorgenti virtuali e d è la distanza tra le due sorgenti virtuali che si ottengono dalla geometria del biprisma di Fresnel.
È immediato allora ricavare λ da considerazioni di tipo puramente geometrico. Ci si chiede se sia possibile procedere, in modo analogo a quanto si fa per un fascio elettromagnetico, per il fascio elettronico: in altre parole, è adeguato il modello ondulatorio per il fascio di elettroni?
In un esperimento con un pennello elettromagnetico possiamo variare la frequenza, per il fascio di elettroni si può variare la differenza di potenziale accelerante del pennello, e si può andare a osservare il cambiamento della figura di interferenza. La spaziatura tra le frange subisce variazioni? Tali variazioni sono conformi al modello ondulatorio? La risposta è affermativa.
Sperimentalmente si osserva che cambiando la differenza di potenziale le frange della figura di interferenza prodotta si mantengono equispaziate, ma cambia la distanza tra le stesse. Inoltre i cambiamenti della figura di interferenza avvengono proprio secondo le previsioni di un modello ondulatorio.
Possiamo dunque dire che un pennello elettronico ha una propagazione di tipo ondulatorio molto simile a quella di un pennello elettromagnetico. Vedremo che tale comportamento varrà in generale per un qualsiasi pennello materiale, per lo meno se posto, in condizioni in un certo senso che preciseremo,analoghe.
Il seguente grafico logaritmico mostra come varia la lunghezza d’onda associata ad un pennello in funzione della differenza di potenziale accelerante.

E’ comodo rappresentare in scala logaritmica le due grandezze x e y quando queste sono legate tra loro da una relazione del tipo:

infatti, quando sono rappresentate in scala logaritmica si ottiene una retta di coefficiente angolare che vale proprio m/n.
Nel caso in cui le due grandezze siano lunghezza d’onda e differenza di potenziale si ottiene, con riferimento al grafico precedente:

dove la lunghezza d’onda è espressa in nanometri (10^-9 m) e la differenza di potenziale è espressa in volt.
Si possono inserire dei numeri per rendersi conto di quale deve essere la differenza di potenziale accelerante per poter ottenere pennelli con una determinata lunghezza d’onda: ci si rende presto conto che per poter ottenere pennelli della lunghezza d’onda di qualche angstrom bastano differenze di potenziale dell’ordine della decina di volt.
In un tipico esperimento alla Tonomura un pennello elettronico viene accelerato da una differenza di potenziale circa di 50 kV e si ottiene, per esso, una λ = 5 10 ^-12 m, che è di parecchi ordini di grandezza inferiore alla lunghezza d’onda caratteristica dello spettro  elettromagnetico visibile.
Se è interessante dal punto di vista sperimentale il legame tra lunghezza d’onda e differenza di potenziale accelerante (ovvero l’energia che trasporta il pennello), per poter interpretare la figura di interferenza che si ottiene, lo è ancora di più la relazione tra la lunghezza d’onda e la velocità del pennello.
Ecco come si ricava: per quanto appena visto vale la relazione

mentre, per il fatto che vale la conservazione dell’energia di una porzione del pennello di massa δm, come già visto precedentemente per ricavare il rapporto δq/δm, si ha:

unendo le due relazioni ottenute si ha quindi:


ora, avendo trovato per il rapporto , si ottiene:

dove la velocità è espressa m/s e la lunghezza d’onda in nanometri(10^-9m).