Maturità Matematica

I quesiti

quesiti

Risoluzione

1° Quesito.

Il solido si può considerare come la sovrapposizione di prismi di base triangolare e altezza infinitesima. Il lato del triangolo è 2, e l'area del triangolo equilatero 4, il volume del singolo prisma è 3, e quello del solido

1

2° Quesito

Per determinare l'ampiezza degli angoli è sufficiente utilizzare il teorema del coseno (a partire dal teorema di Carnot).

Ponendo a = 80cm, b = 60cm, c = 40cm si ottiene:

carnot

3° Quesito

Calcolare le soluzioni equivale a determinare il numero di intersezioni della funzione con l'asse delle x.

Se la funzione sarà monotona crescente o decrescente avremo una sola intersezione.

Dovremo analizzare la funzione se ammette un massimo e un minimo.

Per studiare le caratteristiche della funzione dobbiamo studiare l'andamento della stessa partendo dallo studio della derivata.

derivata

Pertanto la funzione ha un andamento del tipo:

funzione

Questa funzione taglia 1 sola volta l'asse delle ascisse solo se il minomo è positivo o il massimo è negativo.

In tutti gli altri casi avremo 3 intersezioni. Determiniamo le y dei due estremi:

2

Imponiamo f(m) minimo >0 e otteniamo k<1

Imponiamo f(Massimo)<0 e otteniamo K>23/27

Pertanto

1 sola soluzione se k<1 o k>23/27

3 soluzioni se 23/27<x<1

 

4° Quesito

Conoscendo l'apotema possiamo calcolare l'altezza e il raggio di base ponendo l'angolo che si forma tra l'altezza e l'apotema = α, con 0<α<90°, ottenendo:

4

Per calcolare il cono di volume massimo, calcoliamo la derivata del volume e ricordandoci l'insieme di validità, studieremo unicamente la disequazione di 2° grado.

2 da cui ricaviamo:

3e non considerando sen α =0 (soluzioni α = 0 e 90° non accettabili), otteniamo [per la disequazione valori esterni] il massimo in corrispondenza con :3e seno.

In tal caso il volume diventa:vol_max

Dalle equivalenze ricaviamo che 1 m3 = 1000 litri ed effettuando le sostituzioni con la calcolatrice otteniamo: V= 403,06 litri

5° quesito

Essendo la funzione continua e derivabile in {R} lo sarà anche nell'intervallo [-2;2] e pertanto soddisfa alle prime 2 ipotesi del teorema di Lagrange ed inoltre f(-2)=0 e f(2)=16 pertanto dobbiamo determinare i punti appartenenti all'intervallo la cui derivata valga [f(2)-f(-2)]/4=4. ossia:

4 risolvendo:

lagrange

e questo è il punto richiesto.

6° quesito

Qualsiasi sia il prezzo iniziale l'aumento porta ad un prezzo pari a 1,06 di quello iniziale e la diminuzione ad un prezzo pari a 0,94 di quello iniziale.

in ogni caso il prezzo finale sarà sempre lo stesso e pari a P0 •1,06 •0,94 =P0•0,9964 (essendo il prodotto commutativo).

7° quesito

Se la funzione è simmetrica rispetto all'origine allora f(-x) = -y e l'integrale tra -2 e 2 sarà sempre uguale a 0 infatti:

integrale

Ricordandoci le proprietà dell'integrale sappiamo che l'integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali quindi:

L'integrale di 3+f(x) tra -2 e 2 è uguale alla somma dell'integrale della costante + quello della funzione pertanto la superficie sarà 3x4=12

8° quesito

E' sufficiente sostituire ad ogni coefficiente binomiale la sua espressione

n k

Le soluzioni son pertanto n=6 e n=10

9° quesito

Per risolvere l'integrale richiesto dobbiamo fare questa sostituzione:

x= sen t

dx=cos t dt

Sostituendo ed applicando le formule di duplicazione

9

10° quesito

Si deve passare a coordinate polari (noi non le abbiamo trattate).

g