Fisica 5 °G anno scolastico 2006/2007

Campo elettrico prodotto da una sfera

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sferaUtilizzando il teorema di Gauss dimostreremo che una sfera conduttrice uniformemente carica da origine ad un campo elettrico il cui vettore di intensità all'esterno della sfera è equivaente a quello prodotta da una carica puntiforme posta al centro della sfera e su cui sia posta la stessa carica distribuita sulla sfera.

All'interno della sfera il campo è nullo.

Prendiamo per superficie su cui calcolare il flusso totale uscente una sfera sfera a pezziconcentrica con la sfera carica e avente un raggo maggiore del ragio della sfera.

Sperimentalmente osserviamo che le linee di forza sono tutte radiali ed uscenti dalla sfera ed inoltre il valore di E (per motivi di simmetria, anche se ruoto la sfera il campo non si modifica) ad uguale distanza dal centro assume sempre lo stesso valore.

Suddividiamo la superficie della sfera in n superfici elementari dS così piccole che siano praticamente piane, per cui il campo elettrico uscente risulti essere sempre costante in modulo, direzione e verso, in ogni punto di dS.

Ricordiamoci che la normale a ciascuna superficie è sempre parallela alle linee del campo in ogni punto della stessa superficie. Sappiamo che il flusso attraverso ciascuna superficie D S è dato dal prodotto del campo elettrico per la superficie per il coseno dell’anglo formato dal vettore campo elettrico e la normale alla superficie che, essendo paralleli, è sempre 1. Perciò il flusso totale sarà dato dalla somma dei flussi parziali, ovvero di ciascun flusso attraverso ciascuna superficie cioè: 4; quindi essendo E costante lo possiamo raccogliere a fattor comune e otteniamo: risultato Gauss

Ricordandoci che per il teorema di Gauss il flusso totale uscende dalla sfera è 6, possiamo determinare immediatamente quanto vale l'intensità del campo elettrico in ogni punto, all'esterno della sfera: 5 .

Per determinare il campo all'interno della sfera, rifacciamo lo stesso ragionamento utilizzando una superficie sferica di raggio inferiore a quello sella sfera.

Abbiamo per il teorema di Gauss che il flusso totale uscente è nullo e dovendo essere contemporaneamente uguale a risultato Gauss, si ricava che E=0.

Riportando su un piano cartesiano l'andamento del campo elettrico si ottiene:

Campo elettrico

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