campi continui

Effetto Compton: trattazione relativistica

Partendo da:

e

da cui si ricava:

f

e allora uguagliando le due precedenti espressioni abbiamo:

g

e dividendo per EE':

i

Si è così ottenuta la stessa relazione che è stata trovata con la trattazione non relativistica approssimata al primo ordine in E-E’.
L’analisi è stata fin qui condotta utilizzando solo i principi di conservazione dell’energia e della quantità di moto: è stata trovata una equazione per la perdita di energia della radiazione incidente. Da un punto di vista classico non si può supporre un legame tra l’energia e la lunghezza d’onda della radiazione elettromagnetica e quindi non si riesce a collegare la perdita di energia della radiazione incidente con una variazione della sua lunghezza d’onda; ecco perché l’effetto Compton non riesce a ricevere una spiegazione dalla Fisica Classica.
Al contrario, ricordando le conclusioni a cui si è pervenuti studiando l’effetto fotoelettrico, è possibile supporre che la radiazione elettromagnetica interagisca con la particella di massa m  tramite un solo fotone e scrivere pertanto, con ovvia simbologia:

E = h ν ;   E’ = h ν ’

e ottenere quindi dalla (3.3)

:l

ovvero, in termini di lunghezza d’onda:

u

Cosicché la radiazione diffusa ad un angolo θ dalla direzione di incidenza ha una lunghezza d’onda λ (θ) data da:

m

Il  significato fisico di quanto visto fin qui è semplice ma conviene esplicitarlo nuovamente.
Una radiazione monocromatica di lunghezza d'onda λ che viene diffusa  da una particella libera di massa m subisce una variazione della sua lunghezza d'onda che non dipende da λ ma solo da θ e da m. Più precisamente la sua lunghezza d’onda aumenta all’aumentare dell’angolo di diffusione θ  e la sua massima variazione si ha per θ  = 180 ° e vale:

g

Se la particella materiale è un elettrone si ha:

i

(e quindi in tal caso Δ λ max » 0,0481) mentre  se la particella è un nucleo atomico (o  qualcosa  di più massivo) si ha in pratica:

circ0

e quindi:

Δ λ ≈ 0 

La quantità h/mc è detta lunghezza Compton della  particella di massa m. Questo è solo un nome e non ha nulla a che vedere con le cosiddette proprietà ondulatorie della particella; è però interessante riprendere un’osservazione fatta nel capitolo precedente dicendo che la lunghezza Compton di un quanto coincide con l’inverso della costante m presente nell’equazione dei campi materiali, qualora espressa nelle unità di misura del Sistema Internazionale. Ecco così che il significato di tale costante diventa ora chiaro: essa rappresenta la massa del quanto relativo al campo.
Si è ora in grado di spiegare i risultati dell'esperimento descritto precedentemente.

La radiazione incidente sulla grafite può interagire con elettroni vincolati al reticolo cristallino o con nuclei atomici con elettroni liberi; nei primi due casi la massa che compare nell'espressione h/mc è molto grande e questo dà Δ λ = 0; nel secondo caso, invece, tale massa è molto più piccola e così si ottiene:

delta lambda

relazione che è in ottimo accordo con le osservazioni sperimentali.
Per quanto visto fin qui si può anche capire come mai la luce, riflessa da un metallo in tutte le direzioni, non presenti variazioni di lunghezza  d'onda (cioè abbia lo stesso colore di  quella  incidente). Ciò accade, infatti,  perché la radiazione, che non dà luogo all'effetto fotoelettrico, viene diffusa o da elettroni, che in questo caso, per le  energie  in gioco, sono legati al reticolo cristallino, o da  nuclei del reticolo stesso; in ogni caso la massa che  compare a denominatore nell'espressione h/mc è la massa dell'intero metallo e allora, come abbiamo visto, deve risultare Δ λ » 0.
Come sappiamo, però, l’interpretazione di risultati già esistenti, pur essendo di grande importanza, non è sufficiente, da sola, a convincere della bontà della “spiegazione”, molto più convincente risulta il modello proposto se riesce a prevedere qualcosa di nuovo. E’ interessante notare che l’interpretazione qui fornita dello scattering di una radiazione elettromagnetica da parte di un elettrone libero fornisce anche una previsione. Lo studio è stato concentrato infatti sulla variazione di energia della radiazione. Le stesse equazioni usate, però, forniscono anche informazioni sulla quantità di moto dell’elettrone dopo lo scattering. Alcuni calcoli, che per semplicità si omettono, forniscono un collegamento tra l’angolo θ di cui sopra e l’angolo Φ, formato tra la direzione della quantità di moto acquistata dall’elettrone e la direzione della radiazione incidente, come mostrato nella seguente figura.

raggi diffusi

Si ha quindi:

t

Un  esperimento per verificare la precedente relazione fu fatto da Compton e  Simon  nel '25 (Una bella simulazione del famoso esperimento diCompton e Simon è fatta nel software “Effetto Compton” di N. Bergomi, G. Vegni et al..). Essi controllarono che l'elettrone colpito dai raggi  X si muovesse proprio nella direzione prevista dai principi di conservazione dell'energia e della quantità di moto. Il  risultato del difficile esperimento, che fruttò il premio Nobel a Compton nel 1927, fu convincente: la teoria forniva i risultati corretti! Ulteriori esperimenti furono fatti da H. Crane, E. Gaerttner e J. Turin nel 1936. Essi, al posto degli X, utilizzarono raggi g con fotoni di energia compresa tra 0.5 e 2.6 MeV, e, come bersaglio della celluloide. Anche in questo caso i risultati furono in buon accordo con quanto previsto dal modello di Compton.
Osserviamo, infine, che la struttura a quanti delle interazioni oltre a fornire un’eccellente base per l’interpretazione delle reazioni chimiche e delle interazioni radiazione-materia, svolge un ruolo importante anche nella teoria cinetica dei gas. Allora, spingendo ancora in avanti l’analogia di comportamento tra materia e radiazione, ci possiamo aspettare che anche nella spiegazioni della fenomenologia presentata da un gas “di luce” contenuto in una cavità la struttura quantistica sia importante. In effetti è proprio così come ben si capisce dal famoso problema della radiazione di corpo nero.

L’analogia tra gas materiale e gas elettromagnetico è, per certi aspetti, così stretta che si possono considerare in modo semplice cicli termodinamici per il gas di radiazione. ( Cfr Lee M. H. “Carnot cycle for photon gas?” Am. J. Phys. 69 (8) 874-878, August 2001).