campi continui

Effetto fotoelettrico: considerazioni teoriche

Cerchiamo ora di capire come possano essere caratterizzati questi quanti di luce. La “sostanza” elettromagnetica è caratterizzata essenzialmente da energia, quantità di moto, polarizzazione e frequenza. Ora, energia e quantità di moto sono grandezze fra loro proporzionali (in modulo) e ci dicono “quanta” materia elettromagnetica stiamo considerando; la frequenza è l’unica quantità che può determinare, per così dire, il “tipo” di sostanza elettromagnetica in esame, mentre la polarizzazione sembra più legata alla struttura matematica del campo in esame, cioè al fatto che il campo studiato sia scalare, vettoriale, spinoriale, tensoriale, ecc..
Volendo introdurre una quantizzazione della radiazione siamo, quindi, indotti a supporre che, fissata “la sostanza”, cioè fissata la frequenza, la grandezza scambiata in maniera quantizzata nell’interazione sia l’energia (o la quantità di moto che, tanto, sono proporzionali). In altri termini supponiamo che nell’interazione venga scambiato un quanto di energia E (e quantità di moto E/c); quanto il cui valore dipende dal tipo di sostanza elettromagnetica considerata (cioè dalla frequenza) e per il quale, perciò, possiamo scrivere

E=f(ν ) (3.1)

essendo f una funzione per ora sconosciuta.
L’effetto fotoelettrico può essere spiegato utilizzando le chiare parole di Einstein in uno dei suoi famosi lavori del 1905 che la si adatterà, però, alla nostra presentazione, fatta “col senno di poi”:

Se ci si rifà all’idea che la luce scambi quanti di energia di intensitàf(ν) (dove f è una funzione da determinarsi) con quanti della materia elettronica, è possibile spiegare l’emissione fotoelettrica nel seguente modo. I quanti di energia (chiamiamoli fotoni) vengono ceduti ai quanti della materia elettronica (i già conosciuti “elettroni” quanti utili a interpretare le reazioni chimiche). L’energia di un elettrone sarà, quindi la somma dell’energia di legame –W0, che lo confina nel metallo e dell’energia fornitagli da un fotone.
L’energia cinetica massima di ciascuno dei quanti della materia elettronica che fuoriescono dal metallo sarà quindi:

E c,max  =f(ν)  - W0.

Si possono allora spiegare le leggi fenomenologiche ottenute da Lenard.

  • L'esistenza della soglia fotoelettrica si spiega pensando che se un fotone ha frequenza n tale che la sua energia 

 
E =f(ν) < W0

allora esso non ha abbastanza energia per estrarre un elettrone;  quindi, se f è una funzione crescente, soltanto per frequenza maggiori di un certa frequenza n0 (frequenza di soglia) possiamo avere l'emissione.

  • Se ogni fotone cede tutta la sua energia ad un solo  elettrone  allora l'energia cinetica massima degli  elettroni emessi  non può dipendere dall'intensità  luminosa ma solo dall’energia del fotone;  inoltre, all'aumentare della differenza di potenziale ΔV (positiva), aumenta il numero di elettroni che, pur emessi in varie direzioni, raggiungono l'anodo, fino  a quando vi arrivano tutti. Osserviamo ancora che si hanno potenziali d'arresto Va [per la spiegazione del potenziale di arresto confrontare qualche capoverso più sotto] (ovviamente negativi) che diventano sempre più negativi  all'aumentare  della frequenza della luce incidente.

 

  • L'intensità di corrente è proporzionale al numero di elettroni che arrivano sulla placca nell'unità di tempo, questo è proporzionale al numero di elettroni emessi e quindi, proporzionale al numero di fotoni che interagiscono sulla piastra che, a sua volta è proporzionale all’intensità luminosa. Questo spiega perché l’intensità di corrente è proporzionale all’intensità luminosa.
  • Essendo l'emissione dovuta all'assorbimento di un singolo fotone essa è praticamente istantanea.

Una volta spiegati i dati sperimentali è possibile passare  alle previsioni che può dare il modello.
È possibile calcolare Ec,max  applicando una differenza di potenziale frenante fra l’anodo e il catodo dell'apparato di Lenard e misurare per quale valore di Va, (potenziale d'arresto) non si ha più passaggio di corrente. Infatti per tale valore si ha;

Ec,max   = eVa

e quindi, in base al modello risulta:

formule

Allora, se la teoria qui elaborata è giusta, la curva del potenziale d'arresto in funzione della frequenza della luce incidente deve essere la stessa per tutti i metalli, a meno del valore dell’ordinata all’origine.
Il controllo sperimentale della precedente relazione è, quindi, un test estremamente significativo della validità della teoria. Un controllo definitivo fu portato a termine da Millikan nel 1915 dopo dieci anni di duro lavoro.
Egli trovò effettivamente che la funzione f(ν) è universale e, in particolare, è una retta che, per tutte sostanze usate come fotocatodo ha lo stesso coefficiente angolare, come in figura.

dati fotoelettrico

Potenziale di arresto (in volt) in funzione della frequenza della luce incidente. Tratto dal lavoro originale di Millikan; Phys. Rev., 7, 362 (1916).

Dalla (3.1), e dalle misure ora descritte, si ha allora

f(ν) = hν

con h~6,6 x  10-34 Js.
Il modello di interazione quantizzata ha superato una prima prova; cioè ha spiegato i dati sperimentali sulla fenomenologia dell’effetto fotoelettrico e ha previsto correttamente l’esistenza di una funzione universale che lega il potenziale d’arresto alla frequenza della luce incidente. L’idea di fotone prende corpo: serve a interpretare le leggi fenomenologiche dell’interazione luce-materia, tipiche dell’effetto fotoelettrico.
Osserviamo, ora, che le argomentazioni date nel modello precedente sono incomplete: abbiamo trascurato di considerare la quantità di moto del fotone. Sembra, infatti, ragionevole attribuire ad un fotone di energia E anche una quantità di moto di modulo p=E/c essendo questo il legame generale tra energia e quantità di moto nel caso del campo elettromagnetico. Diciamo questo fatto ben noto soprattutto a beneficio dell’insegnante, infatti nelle presentazioni usuali data dai manuali scolastici questo aspetto per lo più non compare.
Applichiamo allora le leggi di conservazione dell’energia e della quantità di moto all’interazione locale elettrone fotone. Indichiamo con un apice le grandezze fisiche dopo l’interazione e senza apice quelle prima. Il pedice e indichi le quantità relative all’elettrone. Solo per semplicità consideriamo il caso pe=0. Si ha così:

p1 ed E

Dalla conservazione della quantità di moto si ha poi:

p1e(3.3)

e quindi

formule2 (3.2)

Considerando la seconda delle (3.3) e quadrando si ha, invece:

energia

che risulta incompatibile con l'equazione (3.2)! A meno che non risulti E=0 (caso in cui non si ha nemmeno l’interazione).
Il problema nasce dal fatto che l'interazione è a tre corpi: fotone, elettrone, lamina a cui è legato l'elettrone e non a due. E' la lamina a  cui  appartiene l'elettrone che  rinculando  bilancia  la quantità  di moto dell'elettrone. Esso ha, infatti, una massa molto maggiore di quella dell'elettrone e quindi nell'interazione si "porta via" buona parte della quantità di moto totale ma pochissima energia cinetica. Si capisce quindi che  è essenziale, perché l’interpretazione dell'effetto fotoelettrico sia consistente, che l'elettrone possa essere considerato legato e, quindi, che le energie del fotone incidente siano dello stesso ordine di grandezza di quelle di legame.
Per energie molto maggiori ci aspettiamo effetti diversi, anzi, la bontà della nostra modellizzazione delle interazioni tramite scambio di quanti ci spinge a chiederci che cosa succeda quando le frequenze della radiazione incidente non corrispondano più a quelle della luce visibile o del vicino ultravioletto ma sono molto maggiori (10.000 o 100.000 volte, ad esempio). E’ questo il caso dell’effetto Compton.
Prima di passare a considerare questo effetto, facciamo però ora alcune osservazioni di carattere disciplinare relative questioni che non sempre sono presenti nei libri di testo della Scuola Superiore ma che, ciononostante hanno notevole importanza perché rinforzano le idee espresse dal nostro modello di interazione quantizzata.

  1. Per energie minori di quelle di legame e quindi per frequenze minori di quella di soglia (soprattutto per i semiconduttori), si può avere un aumento del numero di elettroni di conduzione, se i fotoni assorbiti hanno energia sufficiente a portare gli elettroni nella banda di conduzione, ma insufficiente a farli uscire dal metallo. Questo fenomeno si chiama fotoconducibilità.
  2. Un metallo colpito dalla luce ne riflette buona parte (circa il 99 %) e quindi solo pochi dei fotoni che interagiscono con la superficie possono produrre l'effetto fotoelettrico. Inoltre il metallo in generale si scalda (basta pensare ad un metallo esposto alla luce solare) a causa dell'energia che è trasferita dalla luce al metallo nel processo di assorbimento.
  3. Se invece di usare un metallo usiamo una sostanza trasparente, la luce viene quasi completamente trasmessa e, anche in questo caso, solo pochi fotoni possono produrre l'effetto fotoelettrico.

E' bene notare i valori tipici delle grandezze in gioco e cioè

v

    Se il quadro teorico che abbiamo costruito è esatto per intensità elevate della radiazione incidente ci possiamo aspettare effetti dell'assorbimento successivo multiplo dei fotoni. E, infatti, è così; il gruppo di Saclay ha osservato dei rari fenomeni di ionizzazione dovuti all'assorbimento multiplo di fotoni provenienti da un laser ad elevatissima intensità.  Con  fotoni di  1,17eV e intensità da 1013  a 1020 W/m2  si sono  notati  processi di assorbimento multiplo,  che  hanno portato alla ionizzazione, coinvolgenti fino a 22 fotoni.