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Paradossi su “quale cammino”con la calcite

Descriviamo un altro esempio, dovuto fondamentalmente a Gianfranco Ghirardi, uno dei più grandi esperti italiani di fondamenti della Meccanica Quantistica (vedi a tale proposito il libro di G. Ghirardi “Un occhiata alle carte di Dio”).
Consideriamo un cristallo di calcite (o spato d’Islanda) che è un cristallo birifrangente. Un pennello di luce (per esempio di un laser) che incide sulla calcite si separa all’interno del cristallo ed esce in due pennelli paralleli aventi polarizzazioni ortogonali fra loro (come si può controllare con due polarizzatori posti all’uscita del cristallo, uno dei due, diciamo, polarizzato orizzontalmente, l’altro verticalmente). Chiamiamo il primo pennello raggio ordinario e il secondo raggio straordinario.

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Fig. 3.9 Birifrangenza da calcite

Un pennello polarizzato verticalmente seguirà soltanto il percorso basso della figura, quello del raggio straordinario, come ci possiamo accorgere per esempio perché scatta soltanto il rivelatore posto in basso nella figura. Un pennello di luce polarizzato orizzontalmente, seguirà, invece, il percorso di sopra facendo scattare il rivelatore RO. Se mandiamo contro la calcite un pennello polarizzato a 45° quello che succede è che metà pennello segue il percorso ordinario e metà quello straordinario.
Immaginiamo ora di attenuare così tanto il fascio da avere a che fare con un sol fotone per volta. Se il fotone è polarizzato orizzontale allora fa scattare il rivelatore RO, se è polarizzato verticale fa scattare il rivelatore RV e se è polarizzato a 45° metà delle volte scatterà aleatoriamente RO e metà RV. Viene proprio voglia di pensare che i fotoni seguano un cammino: di sopra o di sotto. Vedremo che, anche in questo, caso la cosa non è possibile. Infatti supponiamo di mettere due cristalli di spato d’Islanda, simmetrici per disposizione, in modo che uno sia l’inverso dell’altro; in modo che se uno separa il fascio, l’altro lo ricombina come in figura..


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Cristallo di calcite e cristallo di calcite inversa

Mandiamo ora, contro l’apparato costituito dai due cristalli posti in sequenza, un fotone, per così dire, “verticale”, cioè  polarizzato verticalmente (cioè mandiamo contro l’apparato un pennello di luce che interagisce tramite un solo quanto polarizzato verticalmente). Cosa succede? Vediamo che il fotone esce ancora “verticale” e sempre dal cammino “basso”; lo sappiamo perché mettiamo un altro polarizzatore verticale dopo il secondo cristallo e osserviamo che lo supera tutte le volte.
Analogamente accade se mandiamo contro i due cristalli di calcite un singolo fotone polarizzato orizzontalmente. Segue il percorso “alto” ed esce polarizzato “orizzontale”.

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 Fig. 3.11 Un fotone polarizzato “verticale” segue il percorso “basso” e viene rivelato da un rivelatore R dopo aver superato un test di polarizzazione verticale (doppia freccia)

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Fig. 3.12 Un fotone polarizzato “orizzontale” segue il percorso “alto” e viene rivelato da un
rivelatore R dopo aver superato un test di polarizzazione orizzontale  (cerchio pieno)

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Fig. 3.13 Anche con due cristalli, un fotone polarizzato “verticale” segue il percorso “basso”e viene
 rivelato da un rivelatore R dopo aver superato un test di polarizzazione verticale

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Fig. 3.14 Anche con due cristalli, un fotone polarizzato “orizzontale” segue il percorso “alto” e viene
rivelato da un rivelatore R dopo aver superato un test di polarizzazione orizzontale

Perché siamo sicuri che i due percorsi seguiti sono proprio quelli rappresentati in figura? Perché, da quanto detto prima quando abbiamo considerato l’esperimento effettuato con un solo cristallo, sappiamo che il fotone “verticale” segue il percorso basso mantenendo la sua polarizzazione (fig. 3.11) e analogamente ha fatto quello “orizzontale” andando in alto (fig. 3.12).
Adesso immaginiamo di mandare un singolo fotone polarizzato a 45°. Per quanto detto fin qui egli o segue il percorso straordinario o quello ordinario, va di sotto o va di sopra. Immaginiamo che vada di sotto e supponiamo di mettere, dopo il secondo cristallo, un secondo polarizzatore a 45° seguito da un rivelatore.

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Fig. 3.15 Un fotone polarizzato a 45° viene inviato contro i due cristalli e
incontra un polarizzatore a 45° (freccia obliqua)

Come descriviamo la situazione? Non è difficile: il fotone che segue il percorso di sotto esce “verticale” dai due cristalli, in seguito incontra il polarizzatore a 45° e pertanto avrà il 50% di probabilità di attraversare il polarizzatore e il 50% di probabilità di essere assorbito. Allora, se N fotoni passano per la traiettoria in basso, il rivelatore, che abbiamo posto dopo il polarizzatore a 45°, ne rivela la metà. Analogamente accade ai fotoni che seguono la traiettoria di sopra perché escono “orizzontali” prima di incontrare il polarizzatore.
Morale: se mandiamo 2N fotoni, uno per volta, polarizzati a 45° contro i due cristalli di calcite, uno inverso dell’altro, questi fotoni metà delle volte passano di sotto, metà delle volte passano di sopra.
Metà di quelli che passano di sotto (e che quindi sono polarizzati verticalmente) supera il polarizzatore a 45° e, analogamente, metà di quelli che passano di sopra (polarizzati, quindi orizzontalmente) supera lo stesso polarizzatore. Alla fine, allora, ci aspettiamo che, dei 2N fotoni incidenti, solo la metà, cioè solo N, giungano al rivelatore.
Bene, la cosa strabiliante è che se facciamo l’esperimento il rivelatore conta 2N fotoni, li conta tutti, e non solo N!
Ciò significa che il discorso che abbiamo fatto è sbagliato e che, quindi, la conclusione che dobbiamo trarre è che il fotone non segue una traiettoria definita: non va di sotto, non va di sopra, non va fuori dal cristallo e non percorre contemporaneamente i due cammini!
Non va fuori dal cristallo perché se mettiamo dei rivelatori attorno alla calcite non troviamo mai nessun fotone; non segue uno dei due cammini perché altrimenti varrebbe il ragionamento appena fatto  e riveleremmo soltanto la metà dei fotoni che invece riveliamo; non li percorre tutti e due perché ogni volta che facciamo un esperimento con un singolo cristallo vediamo che viene sempre attivato uno solo dei due rivelatori, mai vengono attivati entrambi; e non è neppure vero che non segue nessun percorso perché esce dalla sorgente e alla fine esso viene rivelato! Come si vede, la nozione di traiettoria in questo tipo di esperimenti è del tutto inadeguata!
Osserviamo che dal punto di vista classico il problema non si pone assolutamente. Se pensiamo ad un pennello elettromagnetico inizialmente polarizzato a 45° che incide sui due cristalli di calcite, possiamo descrivere in modo molto semplice quello che succede: il pennello viene scomposto in due polarizzazioni dal primo cristallo, orizzontale e verticale, poi queste due vengono ricombinate dal secondo cristallo, tanto è vero che il pennello esce dal secondo cristallo polarizzato di nuovo a 45° (polarizzazione ottenuta come somma coerente di polarizzazione verticale e orizzontale). Mettendo, quindi, un polarizzatore a 45° dopo il secondo cristallo, questo farà passare tutta la luce che vi incide e non solo la metà! Se pensiamo in termini di campo quantizzato possiamo anche dire che un pennello elettromagnetico polarizzato a 45° interagisce per mezzo di quanti polarizzati a 45°, ecco perché tutti i fotoni, e non solo la metà, vengono rivelati nell’esperimento.
Mentre è possibile attribuire una traiettoria al campo, una traiettoria nel senso di immaginare che il campo si propaghi lungo entrambi i cammini ottici, non è però possibile pensare questo per i fotoni. Ancora una volta si capisce perché è del tutto innaturale attribuire una cinematica ai quanti.

paradossi: premesse