Fisica 5 °A anno scolastico 2006/2007

Teorema di Gauss

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1Il Teorema di Gauss per il campo elettrico afferma che il flusso uscente da una superficie chiusa è dato dal rapporto della somma algebrica delle cariche contenute all’interno della superficie chiusa con la costante dielettrica del mezzo che riempie lo spazio.

Non effettueremo la dimostrazione, ma verificheremo la sua validità anaizzando un caso particolare.

Prendiamo per superficie su cui calcolare il flusso totale uscente una sfera avente i centro nel punto in cui abbiamo posizionato una carica puntiforme Q.

Per motivi di simmetria abbiamo che le linee di forza sono tutte radiali ed uscenti dalla carica ed inoltre il valore di E ad uguale distanza dal centro assume sempre lo stesso valore.

Suddividiamo la superficie della sfera in n superfici elementari dS così piccole che siano praticamente piane, per cui il campo elettrico uscente risulti essere sempre costante in modulo, direzione e verso, in ogni punto di dS.

Ricordiamoci che 2 (dove 3) e che la normale a ciascuna superficie è sempre parallela alle linee del campo in ogni punto della stessa superficie. Sappiamo che il flusso attraverso ciascuna superficie D S è dato dal prodotto del campo elettrico per la superficie per il coseno dell’anglo formato dal vettore campo elettrico e la normale alla superficie che, essendo paralleli, è sempre 1. Perciò il flusso totale sarà dato dalla somma dei flussi parziali, ovvero di ciascun flusso attraverso ciascuna superficie cioè: 4; quindi essendo E costante lo possiamo raccogliere a fattor comune e otteniamo: risultato Gauss

Sostituendo il campo con la  formula  specifica 5  e   la  superficie  con  quella  della  sfera (wpe1.jpg (921 byte)) otteniamo che 6.

Introducendo il concetto di angolo solidi e ponendo più cariche nella superficie chiusa si ottiene l’enunciato: 7.

 

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