premesse

Nella  maggior  parte  dei casi nello  studio  dei  fenomeni ondulatori  si ha a che fare con gruppi di onde o “pacchetti d'onda” che sono fenomeni limitati nel tempo e nello  spazio. Ad  esempio la nota suonata da un pianoforte dura  un  tempo finito e l'onda elettromagnetica prodotta dallo scoccare di un  fulmine  dura  solo una frazione  di  secondo.  In  tali condizioni  si  può  dimostrare che l'onda  emessa  non  può essere  monocromatica ma, al contrario, essa risulta somma  di più  onde  monocromatiche che hanno frequenza  compresa  in  un intervallo la cui misura Δ νè collegata alla  durata Δt  della perturbazione.  Come sappiamo, il teorema di Fourier ci assicura che, sotto opportune condizioni matematiche che non staremo qui ad analizzare, la relazione tra Δt  e Δ ν è la seguente:

Δt Δ ν» 1 . (5.1)

Il significato fisico di quanto sopra scritto è che sommando infinite onde monocromatiche, scelte in maniera appropriata, si ottiene una  localizzazione della  perturbazione ondulatoria. Oppure, viceversa, che ogni  pacchetto d'onde  si può immaginare come costituito da  infinite  onde monocromatiche opportune.
Detto in altro modo e tenendo conto della (5.1), se un pacchetto di onde è localizzato in un  intervallo di tempoΔt allora esso si può considerare come  somma di infinite onde monocromatiche con frequenze comprese in un intervallo di misura Δ ν tale che risulti

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Per fare un esempio numerico, osserviamo che le moderne  tecniche di ottica consentono di preparare  impulsi elettromagnetici  estremamente brevi, e cioè della durata  di circa 10-14s. Tali impulsi sono, allora, estremamente non monocromatici essendo addirittura somma di infinite onde monocromatiche con frequenze contenute in un intervallo di misura Δ ν» 1/ Δt» 1014Hz!

Pome sappiamo anche i campi materiali hanno una propagazione di tipo ondulatorio. Consideriamo, ad esempio, il campo elettronico. Il fatto che tale campo sia quantizzato, vuol dire che ogni volta che viene creata o distrutta una  componente  di tale campo di lunghezza  d'ondal, viene sempre creata o distrutta  una quantità di moto, una  energia,  un momento angolare, una massa e una carica  elettrica  multipla rispettivamente delle quantità: h/λ , h , hν, m, e (cioè per brevità viene scambiato un elettrone di una certa quantità di moto e di una certa energia).
E'  quindi  evidente che, in modo  assolutamente  analogo  a quello discusso nel caso del campo elettromagnetico, si possono  ricavare delle relazioni per il campo elettronico  che sono  identiche e hanno analogo significato a quelle  precedentemente viste per il campo elettromagnetico. 
Vale  ora  la pena osservare che una analisi  più  raffinata fornisce delle relazioni che sono appena più restrittive  di quelle appena ricavate ( La differenza è solo in un fattore . )e cioè le seguenti:

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o, se si vuole usare il segno di >=  al posto di quello di , le seguenti:

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Tutte le nostre considerazioni sono state fatte per  un'onda monodimensionale che si propaga lungo l'asse x. E'  evidente che  analoghe considerazioni si possono fare per onde  che  si muovono  nello spazio; per tali onde si avranno,  con  ovvia simbologia, relativamente a tre direzioni fissate, le tre relazioni, di evidente interpretazione:

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Queste tre, insieme alla  relazione che lega  ΔE con Δt, qualunque sia il campo quantizzato cui si riferiscono, vengono globalmente chiamate  relazioni di Heisenberg, dal nome del premio Nobel per la fisica  Werner Heisenberg che per primo le enunciò nel 1927.