Statistica di Fermi-Dirac

Maxwell, Boltzmann hanno analizzato il comportamento delle molecole e particelle elementari in costante movimento e hanno sviluppano dei metodi statistici che permettono di descrivere la dinamica delle singole particelle in termini di valori medi delle variabili microscopiche.

A livello di grandezze termodinamiche hanno osservato che la temperatura misura l'energia cinetica media di tutte le particelle che costituiscono il sistema termodinamico analizzato (come già studiato in precedenza con i gas ideali).
Inoltre hanno dimostrato che l'entropia è proporzionale al logaritmo del numero di possibili stati microscopici (microstati) corrispondenti al medesimo stato macroscopico (macrostato).
Classicamente tutte le particelle classiche sono teoricamente distinguibili ed echitettabili precisando le condizioni iniziali (posizione, velocità accelerazione).
Le particelle identiche per la meccanica quantistica sono del tutto indistinguibili, non solo nella pratica, ma anche dal punto di vista teorico.
Per poter descrivere il comportamento delle particelle in ambito della meccanica quantistica sono state utilizzate due "statistiche":

  1. La statistica di Fermi-Dirac per descrivere statistica di sistemi di particelle dotate di spin semi-intero, i fermioni che rispettano il principio di esclusione di Pauli, e dunque non possono occupare lo stesso stato quantico (esempi di fermioni sono gli elettroni, i protoni e i nuclei di elio-3).
  2. La statistica di Bose-Einstein per descrivere sistemi di particelle dotate di spin intero, i bosoni, particelle dotate di spin intero, non obbediscono al principio di esclusione di Pauli e possono condividere il medesimo stato (esempi di bosoni sono i fotoni e i nuclei di elio-4).

Consideriamo n particelle di cui abbiamo determinato la posizione e la velocità e tutto ciò che le caratterizza , partendo dalla premessa che tutte le particelle sono indistinguibili e definiamo stato ciò che ricaviamo fissando oltre a ciò che la caratterizza anche la posizione e velocità della particella. Ogni stato per la Statistica di Fermi-Dirac può essere associato ad una sola particella (Fermione).


Invece le particelle che ubbidiscono alla statistica di Bose-Einstein ad ogni configuazione possiamo ritrovare varie particelle tutte con le stesse caratteristiche e la

2) ci possono essere più particelle tutte caratterizzate di essere presenti negli stessi stati(Bosoni).

Riassumendo le particelle elementari possono essere suddivise in due grandi categorie:

  1. Particelle che rispettano la statistica di Fermi.Dirac
  2. Particelle che ubbidisconi alla statistica di Bose Einstein.

Se consideriamo le particelle elementari a temperature estremamente basse queste si comportano in modo diverso.

Le particelle che seguono le regole dei bosoni (le particelle del secondo gruppo) possono perdere energia e portarsi tutti allo stesso livello energetico. Queste particelle possono essere presenti in numero infinito tutte nello stesso livello energetico. I bosoni più importanti sono i fotoni e tutte le particelle con peso atomico pari. In ogni porzione di spazio possono esistere infiniti fotoni tutti con la stessa energia (E= h f).

Le particelle che rispettano la statistica di Fermi-Dirac sono soggette al principio di esclusione di Pauli (ogni livello energetico può essere occupato al massimo da una particella), cioè alle particelle con spin semintero (per es., elettroni, protoni, neutroni ecc.), e pertanto sono identificate col termine fermioni.
Nella quantizzazione del gas perfetto, si giunge ad un risultato che differisce da quello classico verso le alte temperature e alle forti pressioni, allo stato di forte condensazione.

Il principio di esclusione di Pauli affermava che in un atomo, in una condizione completamente definita vi è al massimo un elettrone e quindi si potè dimostrare che la sistematica degli spettri complessi è dominata da questo principio.

Il principio di esclusione è alla base della comprensione di molte delle caratteristiche distintive della materia.

Il principio di esclusione di Pauli

è un principio della meccanica quantistica, che dichiara che:

due fermioni identici, non possono occupare simultaneamente lo stesso stato quanticoOssia in un atomo non posso avere due elettroni aventi gli stessi 4 numeri quantici.

Questo principio è stato riformulato quando abbiamo studiato gli elettroni presenti nei livelli in compartecipazione nello stato solido.

Abbiamo riformulato il principio originario affermando che sullo stesso livello in compartecipazione non possiamo avere due elettroni che possiedano la stessa energia (da cui il concetto di Banda). Questo secondo enunciato è quello corretto per studiare i fermioni.
Formulato da Wolfgang Pauli nel 1925, viene anche citato come "principio di esclusione" o "principio di Pauli".