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Analogia tra pennelli
elettromagnetici ed elettronici

Osservando la figura di interferenza prodotta da un’onda elettromagnetica è possibile ricavare la sua lunghezza d’onda.
La distanza  L tra due frange chiare (che si ottiene misurando la distanza tra i due punti centrali di due frange chiare consecutive) è costante per tutta la figura di interferenza e vale:

l in funzione di lambda

dove:    D è la distanza tra lo schermo e le sorgenti virtuali e d è la distanza tra le due sorgenti virtuali che si ottengono dalla geometria del biprisma di Fresnel.
È immediato allora ricavare l da considerazioni di tipo puramente geometrico. Ci si chiede se sia possibile procedere, in modo analogo a quanto si fa per un fascio elettromagnetico, per il fascio elettronico: in altre parole, è adeguato il modello ondulatorio per il pennello di elettronio?
In un esperimento con un pennello elettromagnetico possiamo variare la frequenza, per l’elettronio si può variare la differenza di potenziale accelerante del pennello, e si può andare a osservare il cambiamento della figura di interferenza. La spaziatura tra le frange subisce variazioni? Tali variazioni sono conformi al modello ondulatorio? La risposta è affermativa.
Sperimentalmente si osserva che cambiando la differenza di potenziale le frange della figura di interferenza prodotta si mantengono equispaziate, ma cambia la distanza tra le stesse. Inoltre i cambiamenti della figura di interferenza avvengono proprio secondo le previsioni di un modello ondulatorio.
Possiamo dunque dire che un pennello elettronico ha una propagazione di tipo ondulatorio molto simile a quella di un pennello elettromagnetico. Vedremo che tale comportamento varrà in generale per un qualsiasi pennello materiale, per lo meno se posto, in condizioni in un certo senso che preciseremo, analoghe.
Il seguente grafico logaritmico mostra come varia la lunghezza d’onda associata ad un pennello in funzione della differenza di potenziale accelerante.

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E’ comodo rappresentare in scala logaritmica le due grandezze x e y quando queste sono legate tra loro da una relazione del tipo:

y alla n  uguale a k x alla m

infatti, quando sono rappresentate in scala logaritmica si ottiene una retta di coefficiente angolare che vale proprio m/n.
Nel caso in cui le due grandezze siano lunghezza d’onda e differenza di potenziale si ottiene, con riferimento al grafico precedente:

Trasformazione in retta logaritmica

dove la lunghezza d’onda è espressa in nanometri e la differenza di potenziale è espressa in volt.
Si possono inserire dei numeri per rendersi conto di quale deve essere la differenza di potenziale accelerante per poter ottenere pennelli con una determinata lunghezza d’onda: ci si rende presto conto che per poter ottenere pennelli della lunghezza d’onda di qualche angstrom bastano differenze di potenziale dell’ordine della decina di volt.
In un tipico esperimento alla Tonomura un pennello elettronico viene accelerato da una differenza di potenziale circa di 50 kV e si ottiene, per esso, una λ = 5 10 -12 m, che è di parecchi ordini di grandezza inferiore alla lunghezza d’onda caratteristica dello spettro  elettromagnetico visibile.
Se è interessante dal punto di vista sperimentale il legame tra lunghezza d’onda e differenza di potenziale accelerante (ovvero l’energia che trasporta il pennello), per poter interpretare la figura di interferenza che si ottiene, lo è ancora di più la relazione tra la lunghezza d’onda e la velocità del pennello.
Ecco come si ricava: per quanto appena visto vale la relazione

Da Lambda a Delta V

mentre, per il fatto che vale la conservazione dell’energia di una porzione del pennello di massa δm, come già visto precedentemente per ricavare il rapporto δq/δm, si ha:

delta a altro
unendo le due relazioni ottenute si ha quindi:
v al quadrato
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ora, avendo trovato per il rapporto delta, si ottiene:

v lambda

dove la velocità è espressa m/s e la lunghezza d’onda nanometri.