Energia potenziale

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  Linee di forza

Un diagramma o una carta di un campo vettoriale, per esempio del campo della forza gravitazionale di una massa-sorgente, è più complesso di quello di una semplice grandezza scalare, per esempio della pressione atmosferica, perché si deve specificare, oltre che un modulo, anche un'orientazione. Supponiamo di cominciare a disegnare una carta del campo della forza gravitazionale intorno a una certa massa-sorgente M, misurando la forza agente su una piccola massa di prova.

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I risultati di tali misurazioni possono essere rappresentati per mezzo di una serie di frecce. La lunghezza di ciascuna freccia è proporzionale alla forza gravitazionale all'estremo della freccia (cioè, all'estremo opposto alla punta) e l'orientazione della forza è data dall'orientazione della freccia. Oppure, si può costruire intorno alla massa- sorgente una famiglia di linee continue, chiamate linee di forza, tali che in ogni punto la direzione della forza sia data dalla direzione della linea di forza passante per quel punto. Il modulo della forza in ogni punto di tale diagramma è proporzionale alla densità delle linee nell'immediata vicinanza di quel punto. A una distanza r dal centro della massa M, la densità delle linee di forza è proporzionale all’intensità del campo, come è richiesto dalla dipendenza radiale della legge della forza gravitazionale. Perciò, il semplice esame di un diagramma delle linee di forza rivela dove la forza è più intensa (dove le linee si addensano) e dove la forza è meno intensa (dove le linee si diradano e la loro densità è bassa).

Sebbene la rappresentazione mediante le linee di forza sia utile per visualizzare il campo di forza che circonda un oggetto, è importante rendersi conto che questa immagine è solo un'invenzione: non esistono linee le quali, come una sorta di elastici di gomma, si allungano attraverso lo spazio ed esercitano forze su altri oggetti. Le linee di forza non sono reali: esse servono solo di aiuto al pensiero quando si affrontano problemi concernenti i campi di forza.

Nel caso di una semplice massa sferica, le linee di forza sono tutte linee rette in direzione radiale. Ma nel caso di oggetti aventi una forma complicata o nel caso di un gruppo di corpi (anche di corpi sferici), le linee di forza saranno in genere curve. Per esempio, consideriamo il caso di due oggetti sferici identici situati l'uno vicino all'altro, come è illustrato nella figura 8.9. Le linee di forza possono essere rappresentate misurando la forza che agisce su una massa di prova in molti punti del campo, o calcolando la somma vettoriale delle due forze gravitazionali in ogni punto. Nel prossimo paragrafo mostreremo un altro significato della rappresentazione mediante le linee di forza.

 

Il potenziale gravitazionale

In un campo di forze è sempre possibile definire una grandezza fisica collegabile all'energia associata al campo (energia potenziale) trasferibile a qualsiasi massa che occupi una qualsiasi posizione.

Per definire la grandezza potenziale incominceremo a calcolare il lavoro che deve essere fatto per spostare una massa da un punto A a un punto B posti su una semiretta avente il punto d'origine nel centro del pianeta che ha generato il campo gravitazionale.

potenziale

Il lavoro potrebbe essere scritto in questo caso come L=F•S cos α con cos α =-1 se F fosse costante in modulo su tutto il tratto AB.

Ciò non è e pertanto dobbiamo suddividere il tratto AB in n parti estremamente piccoli per avere in ogni tratto una forza praticamente costante.potenziale 2

Il lavoro diventa pertanto L=Σ Li,i+1 = Σ Fi,i+1(Ri+1-Ri)

La forza Fi,i+1 la calcoliamo ponendo per distanza la media geometrica delle distanze degli estremi dalla massa del pianeta atrattore ossia R2=Ri+1•Ri otteniamo pertanto per ogni tratto Li,i+1= GMm/Ri - GMm/Ri+1

Sommando tutti i termini si elideranno tutte le frazioni escludendo il primo e l'ultimo e otteniamo LA,B= GMm/RA - GMm/RB

Il lavoro risulta dipendere solo dal valore di una grandezza fisica che dipende solo dalla posizione. Chiameremo questa grandezza energia potenziale che definiamo Epot= L∞A= GMm/∞ - GMm/RA=- GMm/RA

Abbiamo trovato che l'energia potenziale gravitazionale di una massa di prova m situata a una distanza r da una massa-sorgente M è

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Come nel caso del vettore forza gravitazionale e del vettore campo gravitazionale, se si divide l'energia potenziale gravitazionale per m si ottiene una grandezza che è caratteristica della massa-sorgente M e non dipende dalla massa di prova. Questa grandezza è chiamata potenziale gravitazionale ed è denotata con il simbolo V:

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da  l'energia potenziale per unità di massa. Poiché il valore assoluto dell'energia potenziale gravitazionale non ha significato fisico, lo stesso può dirsi del potenziale gravitazionale. Poiché solo le variazioni di Epotgrav o di Vgrav hanno significato, si può sempre scegliere, per comodità, una posizione arbitraria come livello zero. Le equazioni sono scritte con la convenzione che Epot, gravitazionale Vgrav sono zero quando r tende all'infinito.

Il potenziale gravitazionale Vgrav e una grandezza scalare e ubbidisce al principio di sovrapposizione. E’ chiaro che la grandezza Vgrav ha un valore definito in ogni punto dello spazio e soddisfa tutti i requisiti di una grandezza di campo. Perciò, Vgrav rappresenta il campo scalare del potenziale gravitazionale, mentre g rappresenta il campo vettoriale della forza gravitazionale.

Superfici equipotenziali

Il potenziale gravitazionale dovuto a un oggetto sferico uniforme dipende solo dalla distanza radiale da quell'oggetto. Perciò, il potenziale sarà lo stesso in ogni punto di uno strato sferico nel cui centro si trova la massa-sorgente. Tale strato è una superficie equipotenziale. Nel caso di una massa-sorgente sferica uniforme, le superfici equipotenziali sono una serie di strati sferici.

Si ricordi che le linee di forza di una massa-sorgente sferica sono tutte rette radiali. Perciò, le linee di forza sono perpendicolari alle superfici equipotenziali. Si tratta, in realtà, di un risultato generale: le linee di forza e le superfici equipotenziali per qualsiasi massa-sorgente o qualsiasi gruppo di masse-sorgenti sono sempre mutuamente perpendicolari.

Questa asserzione può essere dimostrata nel modo seguente. Si sa che non occorre alcun lavoro (in assenza di attrito) per spostare un oggetto con velocità costante in direzione perpendicolare a quella della forza che agisce su di esso; inoltre, la direzione perpendicolare è l'unica direzione per cui ciò accade. Se non è eseguito alcun lavoro su o da un corpo, non può esserci alcuna variazione dell'energia potenziale del corpo. Perciò, non occorre alcun lavoro per spostare un corpo con velocità costante lungo una superficie equipotenziale (partendo da un punto qualsiasi e procedendo in una direzione qualsiasi, per esempio da A a B.) poiché tale spostamento non altera l'energia potenziale. Dato che nello spostamento su una superficie equipotenziale non è eseguito alcun lavoro, questa superficie dev'essere dappertutto perpendicolare alle linee di forza.

 

 

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